例5：如图4，从热气球P上测得两建筑物A、B的底部的俯角各为45o 和 ，如果A、B两建筑物的距离为90 m，P点在地面上的正投影恰好落在线段AB上，求热气球P的高度（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈1.732， ≈1.414）。

 

 

 

3.证明题
这类试题提供的条件与结论均比较明确，考生所要完成的任务可能是填补条件与（所证）结论之间的数学逻辑关联，所涉及的活动既有寻找这些数学逻辑关联的探索性活动，也有对相关数学证明方法、证明技巧的有效应用，甚至还蕴涵对问题不同角度的理解、不同方式的表达等等。因此，这类试题主要用于考查考生逻辑推理能力、对数学命题之间逻辑关系的寻求与把握状况、对数学证明的过程与方法的理解和掌握情况等。
例6：如图5，AB为⊙O直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F .
（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N. 求证：MN⊥BC；
（2）若 , 求⊙O的半径.

 

 

4.应用性问题
此类问题主要用来考查考生数学建模的能力、对相应知识与方法的理解水平、解决问题的意识与能力，有助于促进考生体会数学的价值等。这类试题一般有以下特点：
(1)问题背景一般是现实的。所选择的问题情境可以是关于资源、环境、其他学科活动、经济生活等方面的实际素材。当然，试题情境可以经过适当简化，只保留其现实意义。
(2)内容以及叙述方式一般是考生可以理解的。文字简练，内容的表达和叙述形式利于理解及解题。
(3)内涵是丰富而有价值的，即问题本身或求解过程中涉及丰富而重要的数学概念、数学思想方法。
(4)情境与表述富有挑战性与趣味性，能够激发考生求解的欲望。
例7：“五一”节，小贾和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮．摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小贾乘坐最底部的车厢(离地面0.5m) 。
(1)经过2min后小贾到达点Q(如图6所示)，此时他离地面的高度是多少？
(2)在摩天轮转动过程中，小贾将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？
5.阅读分析题
这类试题用于评价考生获取数学信息及其数学学习的能力，考查考生寻求具体对象的数学性质、对象之间的数学关系，以及对有关数学知识的理解水平、数学方法的应用水平等。对于图表阅读题，还可以考查考生获取图表中所含数学信息的能力，以及从已有信息中做出合理推断的能力．这类试题一般有以下特点：
（1）问题的背景隐含重要的数学概念、性质或关系，形式多种多样，素材既可以来源于社会生活，也可以来自数学或其他学科。通过阅读所获得的信息不仅仅具有数学意义，还可以考查考生对答案合理性的把握。
(2)在这类问题中以新的数学问题，包括概念、法则、公式、命题等，作为主要研究对象。对于图表阅读题，主要关注对变化现象的研究、对变化关系的理解。
(3)问题的挑战性落实在研究对象的数学意义上。
(4)对于图表阅读题，通过阅读图表获得的信息应当超越借助代数运算获得的结论，这既体现图表的价值，又能够考查考生对于相应数学对象的整体把握水平（包括估算能力）。
例8：小红为了了解自己的学习效率，对每天在家完成课外作业所用的时间做了一周的记录，并用图表的形式表示出来，如图所示.那么，她用时最多的一天是
A.星期一　　　B.星期三      
 C.星期四　　　D.星期六

6.探索题
这类试题用于考查考生的数学实践能力、探索能力，适合于考查考生“做数学”与从事“数学化”活动的能力；用于评价其从事归纳、类比、概括、推理等思维活动的水平，以及对自我数学活动过程与结果的反思能力等。这类试题一般有以下特点：
(1)试题背景具有实质性意义，而不仅仅将探索对象归结为对一列数字特征的归纳。
(2)试题的求解过程体现策略多样化的特点，允许借助直觉思维或对问题的整体把握而直接获得合理的猜测。
(3)试题中的设问能引发考生对自我思考过程而不仅仅是对结果的反思。
例9：如图７，已知抛物线 （ ）与 轴的一个交点为B(-1,0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 轴的另一个交点A的坐标；
（2）以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的解析式；
②点 在抛物线的对称轴上，点 在抛物线上，且以 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标．

 

7.开放性问题
这类试题能给每一位考生提供用自己掌握的知识、熟悉的方式去表达对问题的理解的机会，用于考查考生直觉思维和发散思维的活动水平，能够比较全面地推断考生的数学学习状况。这类试题一般有以下特点：
(1)问题的“开放性”落实在问题所提供的条件具有不确定性、解决问题的策略多样性、不同但合理的答案个数不确定性（不是仅仅指答案个数多于1）、问题结构的可改变性等方面。
(2)对不同的考生都能够给出自己对问题的理解、解答。合理的解答应包括在数学上层次不同、在思维水平上存在差异、在表述形式上多样的答案。
(3)问题包含重要的数学问题本身或求解过程中涉及丰富而重要的数学概念、数学思想方法，有利于考生从事有价值的数学活动，如观察、实验、猜测、验证、推理等。
例10： 如图８，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，连结AB，直线PO交AB于M.请你根据圆的对称性，写出△PAB的三个正确的结论.
结论（1）：

结论（2）：

结论（3）：

◆试卷结构
试卷结构参考2010年柳州市初中毕业升学考试数学试卷。

2011柳州中考数学考试说明大纲、考试内容范围样题

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