25、（2011o淮安）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°．

　　（1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？

　　（2）连接CD，若CD=5，求AB的长．

　　考点：切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理。

　　专题：计算题；证明题。

　　分析：（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90°，证明BD与⊙O相切．

　　（2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长．

　　解答：解：（1）直线BD与⊙O相切．

　　如图 连接OD，CD，

　　∵∠DAB=∠B=30 °，∴∠ADB=120°，

　　∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，

　　∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120°﹣30°=90°．

　　所以直线BD与⊙O相切．

　　（2）连接CD，

　　∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°，

　　又OC=OD

　　∴△OCD是等边三角形，

　　即：OC=OD=CD=5=OA，

　　∵∠ODB=90°，∠B=30°，

　　∴OB=10，

　　∴AB=AO+OB=5+10=15．

　　点评：本题考查的是切线的判断，（1）根据切线的判断定理判断BD与圆相切．（2）利用三角形的边角关系求出线段AB的长．

　　26、（2011o淮安）如图．已知二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．

　　（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；

　　（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　　考点：二次函数综合题。

　　专题：综合题。

　　分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．

　　（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的．

　　解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：

　　0=﹣16+4b+3

　　得：b=

　　所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+ x+3．

　　当x=0时，y=3

　　∴点B的坐标为（0，3）．

　　（2）如图：

　　作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，

　　则：BP=AP

　　设BP=AP=x，则OP=4﹣x，

　　在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2

　　即：x2=32+（4﹣x）2

　　解得：x=

　　∴OP=4﹣ =

　　所以点P的坐标为：（ ，0）

　　点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标．（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标．

　　27、（2011o淮安）小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针毎小时旋转30度．他为了进一步探究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2：00开始对钟面进行了一个小时的观察．为了探究方便，他将分针与分针起始位置OP（图2）的夹角记为y1，时针与OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为t分钟．观察结束后，他利用获得的数据绘制成图象（图3），并求出y1与t的函数关系式：

　　请你完成：

　　（1）求出图3中y2与t的函数关系式；

　　（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；

　　（3）若小华继续观察一个小时，请你在题图3中补全图象．

　　考点：一次函数的应用。

　　分析：（1）分针每分钟转过的角度是 =0.5度，据此即可列出函数解析式；

　　（2）求出两个函数的交点坐标即可；

　　（3）分针会再转一圈，与第一个小时的情况相同，是一个循环，而时针OP的夹角增大的速度与第一个小时相同，即函数图象向右延伸．

　　解答：解：（1）y2=0.5t；

　　（2）A（12，6），B（55 ， ）；

　　A表示时针与分针第一次重合的情况，B表示是时针与分针与起始位置OP的夹角的和是360度．

　　（3）

　　点评：本题主要考查了一次函数的图象，和交点坐标的求解，正确理解分针与时针转动的情况是解题的关键．

　　28、（2011o淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t/秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．

　　（1）当时t=1时，正方形EFGH的边长是　1　．当t=3时，正方形EFGH的边长是　4　．

　　（2）当0＜t≤2时 ，求S与t的函数关系式；

　　（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

　　考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。

　　专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。

　　分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；

　　（2）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤ 时；②当 ＜t≤ 时；③当 ＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；

　　（3）当t=5时，面积最大；

　　解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，

　　∴正方形EFGH的边长是2；

　　当t=3时，PE=1，PF=3，

　　∴正方形EFGH的边长是4；

　　（2）：①当0＜t≤ 时，

　　S与t的函数关系式是y=2t×2t=4t2；

　　②当 ＜t≤ 时，

　　S与t的函数关系式是：

　　y=4t2﹣ [2t﹣ （2﹣t）]× [2t﹣ （2﹣t）]，

　　=﹣ t2+11t﹣3；

　　③当 ＜t≤2时；

　　S与t的函数关系式是：

　　y= （t+2）× （t+2）﹣ （2﹣t）（2﹣t），

　　=3t；

　　（3）当t=5时，最大面积是：

　　s=16﹣ × × = ；

　　点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．

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