中考《圆》五大考点解析
 
 
 
　　【中高考名师团成员】

　　万广磊

　　扬大附中东部分校

　　各地中考试卷中对圆这部分内容的考查,最突出的特点是强调基础,重视实用。考查的题型大多以填空题、选择题的形式出现。另一方面考查的题型以计算题和证明题的形式出现。那么中考有哪些关于圆的考点呢？

　　考点一：与圆有关的概念

　　1．圆的定义：

　　在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆可以看成是到定点距离等于定长的所有点的集合。

　　2．弦的定义：

　　连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中的AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD），直径等于半径的2倍。

　　3．弧的定义：

　　圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）。能够重合的弧叫做等弧。

　　小贴士：很多同学将等弧理解为长度相等的弧，这是错误的。另外，直径是弦，半径不是弦。

　　【例1】下列语句中，正确的有（ ）。

　　A. 相等的圆心角所对的弧相等       B．平分弦的直径垂直于弦  

　　C. 长度相等的两条弧是等弧         D．过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

　　【解析】A、C选项成立的前提条件都是“在同圆或等圆中”，B选项被平分的弦不能是直径，只有D选项正确。

　　【答案】D

　　考点二：圆的旋转不变性

　　（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在直线；圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

　　（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

　　（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

　　小贴士：用本课所学的定理可以证明弧相等，线段相等，角度相等，通常运用“等量加减等量仍是等量”的性质解题．在圆内可以通过作弦、作直径、作半径，构造出圆周角或圆心角，为打通角与角之间的关系以及计算角度带来方便。

　　【例2】（2010南京）如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到′      ，旋转角为α（0°＜α＜180°）。若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，则∠α=      度。

　　【解析】根据圆周角定理可求∠BOA′=2∠BC′A=80°，又已知∠AOB=30°，故∠α=∠AOB+∠BOA′=110°。

　　【答案】110。

　　考点三：圆的轴对称性

　　(1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　(2)推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

　　小贴士：（1）垂径定理提供了证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等的重要依据；垂径定理指：只要一条线段：①“过圆心”；②“垂直于另一条弦”；就得到：③“平分这另一条弦”；④“平分这另一条弦所对的劣弧”；⑤“平分这另一条弦所对的优弧”；也就是说由前两个条件，必得到另外三个结论。

　　（2）通常情况下，可以过圆心作已知弦的垂线段，连接半径构造直角三角形，运用垂径定理、勾股定理建立含有未知量的方程求一条弦长。

　　【例3】（2010广西梧州）如图6，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（   ）。

　　①CE=DE；  ②BE=OE；          ；           ④∠CAB=∠DAB； ⑤AC=AD。

　　A．4个    B．3个   

　　C．2个    D．1个

　　【解析】本题根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确。由AB是⊙O的直径。且AB⊥CD，得到CE＝DE，          ；进而∠CAB＝∠DAB；（故①、③、④正确）；AB垂直平分CD，得到AC＝AD；（故⑤正确）由于没有条件能够证明BE＝OE，故②不一定成立。所以一定正确的结论是①③④⑤。

　　【答案】A。

　　考点四：圆心角与圆周角

　　(1)定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

　　(2)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

　　(3)半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

　　（4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

　　小贴士：在圆中，见到直径要联想到它所对的圆周角是直角，构造出直角三角形，得到线段间的垂直关系；有90°的圆周角就想到连接直径；另外，要善于发现图中同弧或等弧所对的圆周角转化相等关系。还要注意因考虑不周造成漏解出错。

　　【例4】（2010江苏连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝      度。

　　【解析】解：因为BA∥CO，所以∠A＝∠AOC；因为∠B＝22°，所以∠A＝∠AOC＝2∠B＝44°。

　　【答案】44。

　　考点五：三角形的外接圆

　　(1)不在同一直线上的三点确定一个圆；

　　(2)三角形外接圆的圆心就是该三角形的外心，是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

　　小贴士：在作一个三角形的外接圆时，关键是确定圆心和半径，作出两边的垂直平分线其交点就是圆心，圆心到任意一个顶点的连线就是半径。

　　【例5】已知△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=      cm，则∠A=   。

　　【解析】弦BC所对的圆心角是120°，A点可能在弦BC所对的劣弧上，∠A=120°；也可能在优弧上，∠A=60°。

　　【答案】∠A=60°或120°。
 

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