2016德州中考数学考试说明大纲及样题答案
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
13．计算 + =_______．
14．方程 的解为x=_______．
15．在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6﹒计算这组数据的方差为_________．
16．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50º，观测旗杆底部B的仰角为45º，则旗杆的高度约为 ________m．(结果精确到0.1m．参考数据：sin50º 0.77，cos50º 0.64，tan50º 1.19)
17． 如图1，四边形 中，AB∥CD， ， ．取 的中点 ，连接 ，再分别取 、 的中点 ， ，连接 ，得到四边形 ，如图2；同样方法操作得到四边形 ，如图3；…，如此进行下去，则四边形 的面积为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18． (本题满分6分)
先化简，再求值： ，其中 ， ．
19． (本题满分8分)
2014 年1月，国家发改委出台指导意见，要求2015年底前，所有城市原则上全面实行居民阶梯水价制度．小明为了解市政府调整水价方案的社会反响，随机访问了自己居住小区的部分居民，就“每月每户的用水量”和“调价对用水行为改变”两个问题进行调查，并把调查结果整理成下面的图1、图2．
小明发现每月每户的用水量在5m3—35 m3之间，有8户居民对用水价格调价涨幅抱无所谓，不会考虑用水方式的改变．根据小明绘制的图表和发现的信息，完成下列问题：
（1）n=_______，小明调查了_______户居民，并补全图1；
（2）每月每户用水量的中位数和众数分别落在什么范围？
（3）如果小明所在小区有1800户居民，请你估计“视调价涨幅采取相应的用水方式改变”的居民户数有多少？
20．(本题满分8分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，BE∥AC，
AE∥OB．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．
21． (本题满分10分)
如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断 ABC的形状：______________；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
22． (本题满分10分)
某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象求y与x的函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？
23． (本题满分10分)
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点 为 上一点， ．
求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点 为 上一点，当 时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5， 点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，
DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．
24． (本题满分12分)
已知抛物线 y= mx2+4x+2m与x轴交于点A（ ，0）、B( ，0)，且 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l对称点为E．是否存在 x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．
数学试题参考解答及评分意见
评卷说明：
1．选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分．
2．解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数．本答案对每小题只给出一种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分．
3．如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分．
一、选择题：(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D A C C B A C D B
二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
13． ；14．2； 15． ； 16．7.2；17． ．
三、解答题：(本大题共7小题, 共64分)
18. (本题满分6分)
解：原式=
= …………………………………………2分
= ． …………………………………………4分
∵ ， ，
∴ ， ． …………………………………………5分
原式= = ． …………………………………………6分
19．(本题满分8分)
解：（1）210 96 …………………………………………2分
补全图1为：
…………………………………………4分
（2）中位数落在15—20之间，众数落在10—15之间；………………………6分
（3）视调价涨幅采取相应的用水方式改变的户数为：
1800× =1050（户）． ……………………………………………8分
20 ．(本题满分8分)
（1） 证明：∵ BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形． …………………………………………2分
又∵四边形OABC是矩形，
∴OB=AC，且互相平分，
∴DA=DB．
∴四边形AEBD是菱形． …………………………………………4分
（2）连接DE，交AB于点F．
由（1）四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分．………………………5分
又∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF= OA= ，AF= AB=1 ．
∴E点坐标为（ ，1）．…………………………………………7分
设反比例函数解析式为 ，
把点E（ ，1）代入得 ．
∴所求的反比例函数解析式为 ．…………………………………………8分
21．(本题满分10分)
解：（1）等边三角形．…………………………………………2分
（2）PA+PB=PC． …………………………………………3分
证明：如图1，在PC上截取PD=PA，连接AD．……………………………4分
∵∠APC=60°，
∴△PAD是等边三角形．
∴PA=AD，∠PAD=60°．
又∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC．
∵AB=AC，
∴△PAB≌△DAC．…………………………………………6分
∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC．…………………………………………7分
（3）当点P为 的中点时，四边形APBC面积最大．…………………8分
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵ ， ．
∴S四边形APBC= ．
∵当点P为 的中点时，PE+CF =PC， PC为⊙O直径，
∴四边形APBC面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB= ．………………………………………………9分
∴S四边形APBC= = ．………………………………………………10分
22．(本题满分10分)
解：（1）设y与x函数关系式为y=kx+b，把点
（40，160），（120， 0）代入得，
………………………3分
解得
∴y与x函数关系式为y=-2x+240（ ）．………………………5分
（2） 由题意，销售成本不超过3000元，得40（-2x+240） 3000．
解不等式得， ．
∴ ．………………………7分
根据题意列方程得（x-40）（-2x+240）=2400．………………………8分
即： ．
解得 ， ．………………………9分
∵60<82.5，故舍去．
∴销售单价应该定为100元．………………………10分
23. (本题满分10分)
（1）证明：如图1
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠A PD=90°．
∠BPC+∠APD=90°．
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△ BPC．………………………………………………………1分
∴ ．
∴AD BC=AP BP ．………………………………………………………2分
(2)结论AD BC=AP BP仍成立.
理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠A+∠ADP =∠DPC+∠BPC．
∵∠DPC=∠A= ，
∴∠BPC=∠ADP．………………………………………3分
又∵∠A=∠B= ，
∴△ADP∽△ BPC．………………………………………4分
∴ ．
∴AD BC=AP BP．………………………………………5分
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．
∵AD=BD=5，
∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4. ………………………………………6分
∵以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，
∴DC＝DE＝4，
∴BC＝5－4＝１．
又∵AD=BD，
∴∠A=∠B．
由已知，∠CPD=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B．
由（1）、（2）的经验可知AD BC=AP BP . ………………………7分
又AP＝t，BP＝6－t，
∴t（6－t）＝5×１．…………………………………………………8分
解得t１＝１，t２＝5．
∴t的值为1秒或5秒．…………………………………………………10分
24．(本题满分12分)
（1）由题意可知， ， 是方程 的两根，由根与系数的关系可得， + = ， =-2．………………………1分
∵ ，
∴ ．即： ．
∴m=1．………………………2分
∴抛物线解析式为 ． ………………………3分
（2） 存在x轴，y轴上的点M，N，使得四边形DNME的周长最小．
∵ ，
∴抛物线的对称轴 为 ，顶点D的坐标为（2，6）．………………………4分
又抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2），点E与点C关于 对称，
∴E点坐标为（4，2）．
作点D关于y轴的对称点D′，作点E关于x轴的对称点E′，…………………………5分
则D′坐标为（-2，6），E′坐标为（4，-2）．连接D′E′，交x轴于M，交y轴与N．
此时，四边形DNME的周长最小为D′E′+DE．（如图1所示）
延长E′E， D′D交于一点F，在Rt△D′E′F中，D′F=6，E′F=8．
∴D′E′= = ．…………………………6分
设对称轴 与CE交于点G，在Rt△DG E中，DG=4，EG=2．
∴DE= = ．
∴四边形DNME的周长的最小值为
10+ ．…………………………8分
（3）如图2， P为抛物线上的点，过P作PH⊥x轴，垂足为H．若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，则△PHQ≌△DGE．
∴PH=DG=4． …………………………9分
即 =4．
∴当y=4时， =4，解得 ．…………………………10分
当y=-4时， =-4，解得 ．
∴点P的坐标为（ ，4），（ ，4），（ ，-4），（ ，-4）．
……………………………12分 2016德州中考数学考试说明大纲及样题答案
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